Question

已知橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，離心率為

3

2

，兩個焦點分別為F₁和F₂，橢圓C₁上一點到F₁和F₂的距離之和為12，橢圓C₂的方程為

x2

(a-2)2

+

y2

b2-1

=1，圓C₃：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點A_k．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）求△A_kF₁F₂的面積；
（III）若點P為橢圓C₂上的動點，點M為過點P且垂直于x軸的直線上的點，

|OP|

|OM|

=e（e為橢圓C₂的離心率），求點M的軌跡．

Answer 1

分析：（I）設橢圓C₁的半焦距為c，利用離心率，橢圓C₁上一點到F₁和F₂的距離之和為12，橢圓定義，求出a，b，然后求橢圓C₁的方程；
（II）求出點A_k的坐標，直接求△A_kF₁F₂的面積；
（III）橢圓C₂的方程為

x2

16

+

y2

17

=1，設M（x，y），P（x，y₁），其中x∈[-4，4]．
求出e=

3

4

，化簡16（x²+y₁²）=9（x²+y²）．由點P在橢圓C上得

y

2 1

=

112-7x2

16

，
求出點M的軌跡方程為y=±

4 7

3

(-4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．

解答：解：（I）設橢圓C₁的半焦距為c，
則 2a=12

c

a

=

3

2

解得a=6，c=3

3

，（3分）
于是b²=a²-c²=36-27=9，（4分）
因此所求橢圓C₁的方程為：

x2

36

+

y2

9

=1（5分）
（II）點A_k的坐標為（-k，2），
則S△AkF1F2=

1

2

×F1F2×2=

1

2

×6

3

×2=6

3

．（10分）
（III）橢圓C₂的方程為

x2

16

+

y2

17

=1，
設M（x，y），P（x，y₁），其中x∈[-4，4]．
由已知得

x2+ y 2 1

x2+y2

=e2，
而e=

3

4

，故16（x²+y₁²）=9（x²+y²）．
由點P在橢圓C上得

y

2 1

=

112-7x2

16

，
化整理得9y²=112，（13分）
因此點M的軌跡方程為y=±

4 7

3

(-4≤x≤4)，（14分）
軌跡是兩條平行于x軸的線段．（15分）

點評：本題考查橢圓的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．