Question

已知矩陣A將點（1，0）變換為（2，3），且屬于特征值3的一個特征向量是

1 1

，（1）求矩陣A．（2）

β

=

4 0

，求A⁵

β

．

Answer 1

（1）設A=

a b c d

，由

a b c d

1 0

=

2 3

得，

a=2 c=3

，

由

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

得，

a+b=3 c+d=3

，所以

b=1 d=0

所以A=

2 1 3 0

．                 7分
（2）A=

2 1 3 0

的特征多項式為f(λ)=

.

λ-2 -1 -3 λ

.

= (λ -3)(λ+1)
令f（λ）=0，可得λ₁=3，λ₂=-1，
λ₁=3時，

α1

=

1 1

，λ₂=-1時，

α2

=

1 -3

令

β

=m

α1

+

α2

，則

β

=

4 0

=3

α1

+

α2

，
A⁵

β

=3×3⁵

α1

-

α2

=

36-1 36+3

…14分．