Question

已知矩陣A將點（1，0）變換為（2，3），且屬于特征值3的一個特征向量是

1 1

，（1）求矩陣A．（2）

β

=

4 0

，求A⁵

β

．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)矩陣 A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣A有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量及矩陣A對應(yīng)的變換將點（1，0）變換為（2，3），得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣A．
（2）先求矩陣A的特征多項式，從而求得特征值與特征向量，進而可求A⁵

β

．

解答：解：（1）設(shè)A=

a b c d

，由

a b c d

1 0

=

2 3

得，

a=2 c=3

，

由

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

得，

a+b=3 c+d=3

，所以

b=1 d=0

所以A=

2 1 3 0

．                 7分
（2）A=

2 1 3 0

的特征多項式為f(λ)=

.

λ-2 -1 -3 λ

.

= (λ -3)(λ+1)
令f（λ）=0，可得λ₁=3，λ₂=-1，
λ₁=3時，

α1

=

1 1

，λ₂=-1時，

α2

=

1 -3

令

β

=m

α1

+

α2

，則

β

=

4 0

=3

α1

+

α2

，
A⁵

β

=3×3⁵

α1

-

α2

=

36-1 36+3

…14分．

點評：本題以變換為載體，考查待定系數(shù)法求矩陣，正確理解矩陣與變換的關(guān)系，合理運用特征值、特征向量是解題的關(guān)鍵．