Question

已知直線y=2x+1與拋物線x²=4y交于A，B兩點，O為坐標原點．點C位于拋物線弧AOB上，求點C坐標使得△ABC面積最大．

Answer 1

分析：直線為y=2x+1，要使得內接△ABC面積最大，則只須使得過C（x_c，y_c）點的切線與直線y=2x+1平行，由導數的性質能求出C位于（4，4）點處時，△ABC面積最大．

解答：解：∵直線為y=2x+1，
∴要使得內接△ABC面積最大，則只須使得過C（x_c，y_c）點的切線與直線y=2x+1平行，
∵x²=4y，
∴y=

x2

4

，
∵y′=

1

4

×2x，直線y=2x+1的斜率為2，
∴過C（x_c，y_c）點的切線斜率k=y_c^′=

1

4

×2xc=2，
解得x_c=4，則可得y_c=4
∴C位于（4，4）點處時，△ABC面積最大．

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用．