Question

【題目】已知動點到兩點，的距離之和為4，點在軸上的射影是C，.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點的直線交點的軌跡于點，交點的軌跡于點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）1

【解析】

（1）根據橢圓的定義和題設條件，求得點的軌跡方程是，設點坐標為，由所以點的坐標為，代入即可求解.

（2）若軸，求得；若直線不與軸垂直，設直線的方程為，根據圓的弦長公式，求得，再聯立方程組，結合根與系數的關系，求得的表達式，代入化簡，即可求解.

（1）設，

因為點到兩點的距離之和為4，即

可得點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，

所以，即，且，則，

所以點的軌跡方程是.

設點坐標為，因所以點的坐標為，可得，

化簡得點的軌跡方程為.

（2）若軸，則，.

若直線不與軸垂直，設直線的方程為，即，

則坐標原點到直線的距離，

.

設.將代入，并化簡得，

.

，.

，

當且僅當即時，等號成立.

綜上所述，最大值為1.