Question

某養殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．
(1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少；
(2)若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料不少于5噸時，其價格可享受八五折優惠(即原價的85%)．問：該廠是否應考慮利用此優惠條件？請說明理由．

Answer 1

（1）10天（2）利用

(1)設該廠x(x∈N^*)天購買一次飼料平均每天支付的總費用最少，平均每天支付的總費用為y₁.
∵飼料的保管費與其他費用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，
∴x天飼料的保管費與其他費用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x²－3x(元)．
從而有y₁＝ (3x²－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，當且僅當＝3x，
即x＝10時，y₁有最小值．
故該廠10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少．
(2)設該廠利用此優惠條件，每隔x天(x≥25)購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y₂，則y₂＝ (3x²－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．
令f(x)＝＋3x(x≥25)，
∵f′(x)＝－＋3，
∴當x≥25時，f′(x)＞0；當x≥25時，函數f(x)與y₂是增函數．
∴當x＝25時，y₂取得最小值，最小值為390.
∵390＜417，∴該廠應考慮利用此優惠條件．