Question

已知橢圓過點(diǎn)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與軸正半軸、軸分別交于點(diǎn)，與橢圓分別交于點(diǎn)，各點(diǎn)均不重合，且滿足，． 當(dāng)時(shí)，試證明直線過定點(diǎn)．過定點(diǎn)（1，0）

Answer 1

（1）
（2）結(jié)合向量關(guān)系式，以及韋達(dá)定理，來分析直線的方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo)。

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為                        1分
由題意知，且又
所以橢圓方程為.　　　　　　　　                           4分
（Ⅱ）由題意設(shè)的方程為       5分
由知6分
同理由知
∵，∴　　　（1）　　　         7分
聯(lián)立得，                          8分
只需　　  （2）
且有　　　　 （3）　　　　                 9分
把（3）代入（1）得且滿足（2），              10分
依題意，，故
從而的方程為，即直線過定點(diǎn)（1，0）                              12分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，代數(shù)法來設(shè)而不求的解題思想是解析幾何的本質(zhì)，屬于中檔題。