Question

在直角坐標(biāo)系中，以M（-1，0）為圓心的圓與直線x-

3

y-3=0相切．
（1）求圓M的方程；
（2）已知A（-2，0）、B（2，0），圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|•|PB|=|PO|²，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線與圓線切，可轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離等于半徑，建立等量關(guān)系，求出半徑即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由|PA|•|PB|=|PO|²求出點(diǎn)P的軌跡，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式表示出

PA

•

PB

，再利用消元法得到一個(gè)變量的函數(shù)求取值范圍，注意這一變量的范圍．

解答：解：（1）依題意，圓M的半徑等于圓心M（-1，0）到直線x-

3

y-3=0的距離，
即r=

|-1-3|

1+3

=2．（4分）
∴圓M的方程為（x+1）²+y²=4．（6分）
（2）設(shè)P（x，y），由|PA|•|PB|=|PO|²，
得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
即x²-y²=2．（9分）

PA

•

PB

=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=y2+x2-4=2(y2-1)（11分）
∵點(diǎn)在圓M內(nèi)，
∴（x+1）²+y²＜4，而x²-y²=2
∴

-1- 11

2

＜x＜

-1+ 11

2

，
?0≤y²＜1+

11

2

?-1≤y²-1＜

11

2

，
∴

PA

•

PB

的取值范圍為[-2，

11

）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與圓的位置關(guān)系，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．