Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，過且與軸垂直的直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意得， ，∴.①∵，∴.②聯(lián)立①②得a,b,c即得橢圓的方程（2）設(shè)直線方程為： ， 點(diǎn)坐標(biāo)為， 點(diǎn)坐標(biāo)為.聯(lián)立得，根據(jù)韋達(dá)定理由弦長(zhǎng)公式得， ，又點(diǎn)到直線的距離， ，解得k值，即得直線的方程.

試題解析：

(1)設(shè)， ，則，

∵，∴.①

∵，∴.②

聯(lián)立①②得， ， ， .

∴橢圓方程為.

(2)顯然直線斜率存在，設(shè)直線方程為： ， 點(diǎn)坐標(biāo)為， 點(diǎn)坐標(biāo)為.

聯(lián)立方程組，得，

令得， ，

∴， ，

由弦長(zhǎng)公式得，

，

點(diǎn)到直線的距離，

，解得.

∴的方程為： .