Question

設為數列的前項和，對任意的，都有為常數，且．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）設數列的公比，數列滿足，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和．

Answer 1

（1）證明：當時，，解得．…………………1分
當時，．即．………2分
又為常數，且，∴．          ………………………3分
∴數列是首項為1，公比為的等比數列．     　……………………4分
（2）解：由（1）得，，．  ………………………5分
∵，∴，即．………7分
∴是首項為，公差為1的等差數列．………………………………………8分
∴，即（）．………………………9分
（3）解：由（2）知，則．
所以，                     ………………10分
即，     ① ……11分
則，   ②………12分
②－①得，     ……………………13分
故．  ………………14分

本題主要考查等比數列的性質．當出現等比數列和等差數列相乘的形式時，求和可用錯位相減法．
（1）當n≥2時，根據an=Sn-Sn-1，進而得出an和an-1的關系整理得a_na_n-1 =m( 1+m) ，因m為常數，進而可證明當n≥2時數列{an}是等比數列．，當n=1時等式也成立，原式得證．
（2）根據（1）可得f（m）的解析式．再根據bn=f（bn-1）整理可得（1 bn） -（1 b_n-1） =1進而推知數列{bn}為等差數列，首項為2a1，公差為1，再根據等差數列的通項公式可得答案．
（3）把（2）中的bn代入{2ⁿ⁺¹b_n }，再通過錯位相減法求得Tn