Question

設橢圓的左、右焦點分別為,，右頂點為A，上頂點為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點，經過點的直線與該圓相切與點M，=.求橢圓的方程.

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：(1)求橢圓離心率，就是列出關于a,b,c的一個等量關系.由，可得，又，則所以橢圓離心率為(2) 由(1)知所以求橢圓方程只需再確定一個獨立條件即可.由切線長=可列出所需的等量關系.先確定圓心：設，由，有由已知，有即，故有，因為點P在橢圓上，故，消可得，而點P不是橢圓的頂點，故，即點P的坐標為設圓的圓心為，則再由得，即所以所求橢圓的方程為
試題解析：解(1)設橢圓右焦點的坐標為（c,0）， 由，可得，又，則所以橢圓離心率為 (2)由(1)知故橢圓方程為，設，由，有由已知，有即，故有，因為點P在橢圓上，故，消可得，而點P不是橢圓的頂點，故，即點P的坐標為設圓的圓心為，則，進而圓的半徑，由已知，有，=，故有，解得，所以所求橢圓的方程為