Question

【題目】在矩形中，，，點是線段上靠近點的一個三等分點，點是線段上的一個動點，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面.

（1）當時，求證：；

（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析: (1) 當時，點是的中點,由已知證出,根據面面垂直的性質定理證得平面,進而證得結論;(2) 以為原點，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系.寫出各點坐標,求出平面的法向量,根據線面角的公式求出結果.

試題解析:

（1）當時，點是的中點.

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以為原點，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，.

取的中點，

∵，∴，

∴ 易證得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

設平面的一個法向量為，

則

令，則.

設與平面所成的角為，

則

，

解得或（舍去）

∴存在實數，使得與平面所成的角的正弦值為，此時.