Question

【題目】已知橢圓的右焦點為,點為橢圓上的動點，若的最大值和最小值分別為和.

(I)求橢圓的方程

(Ⅱ)設不過原點的直線與橢圓 交于兩點,若直線的斜率依次成等比數列,求面積的最大值

Answer 1

【答案】(1) .

(2)1.

【解析】分析：第一問根據橢圓上的點到焦點的距離的最大值和最小值分別是和，結合已知條件，建立關于的方程組，從而求得的值，借助于橢圓中之間的關系，求得的值，從而求得橢圓的方程；第二問設出直線的方程，將其與橢圓聯立，寫出兩根和與兩根積，根據條件，確定出斜率的值，之后將面積轉化為關于b的式子，利用二次函數的最值求得結果.

詳解：（I）由已知得：

橢圓方程為

（II）設（易知存在斜率，且），設

由條件知：

聯立(1)(2)得：

點到直線的距離

且

所以當時：

.