Question

如圖,在三棱錐A－BCD中,側面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD＝,BD＝CD＝1,另一個側面是正三角形

(1)求證：AD^BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置；若 

不存在,說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析    (2) 所求二面角的大小是

(3) 上存在點,且時,與面成角.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線線的垂直的證明，以及二面角的求解問題，線面角的求解的綜合運用。

（1）利用線面垂直的性質定理得到證明。

（2）合理的建立空間直角坐標系，表示平面的法向量，借助于向量的數量積的性質定理，表示法向量的夾角，得到二面角的平面角的大小。

（3）對于探索性問題，可以假設存在，然后在此基礎上，我們進一步分析斜向量和平面的法向量，利用線面角的大小求解得到。

解： (1)方法一:作面于,連

又,則是正方形.

則

 

方法二:取的中點,連、,

則有

(2)作于,作交于,

則就是二面角的平面角.

是的中點,且∥

則

由余弦定理得

(3)設為所求的點,作于,連.則∥

就是與面所成的角,則.

設,易得

解得

故線段上存在點,且時,與面成角.

解法二:

（1）作面于,連、、,則四邊形是正方形,且,

以為原點,以為軸,為軸建立空間直角坐標系如圖,

則

 

(2)設平面的法向量為則由知:;

同理由知:可取同理,可求得平面的一個法向量為由圖可以看出,二面角的大小應等于<>

則<>,即所求二面角的大小是.

(3)設是線段上一點,則

平面的一個法向量為

要使與面成角,由圖可知與的夾角為,

所以

則,解得,,則

故線段上存在點,且,時與面成角.