Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=

3

，BD=CD=1，另一個側面是正三角形
（1）求證：AD⊥BC
（2）求二面角B-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）根據所給的三棱錐中的各邊關系，可以判斷△BCD為等腰直角三角形，又因為∵△ABC為等邊三角，所以若取BC中點O，連AO、DO，則AO⊥BC，DO⊥BC，就可得到BC⊥平面AOD，BC⊥AD．
（2）欲求二面角B-AC-D的大小，先找到二面角的平面角，二面角的平面角滿足，頂點在棱上，兩條邊分別在兩個面內，且兩條邊分別垂直于棱，因為圖中沒有滿足條件的角，所以可以添加輔助線，作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角．在把角放入三角形BMN中，通過解三角形求出該角．

解答：證明：（1）在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵AD是公共的斜邊，且AD=

3

，BD=CD=1，∴AB=AC=

2

∵∵△ABC為等邊三角形，∴BC=

2

，
∴△BCD為等腰直角三角形，
取BC的中點O，連AO、DO，
∵△ABC為等邊三角形，∴AO⊥BC
∵△BCD為等腰直角三角形，∴DO⊥BC．
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD．
解：（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角．
∵AB=AC=BC=

2

，M是AC的中點，且MN∥CD
則BM=

6

2

，MN=

1

2

CD=

1

2

，BN=

1

2

AD=

3

2

．
由余弦定理得cos∠BMN=

BM2+MN2-BN2

2BM•MN

=

6

3

，
∴∠BMN=arccos

6

3

．

點評：本題主要考查立體幾何中異面直線垂直的證明，以及二面角的求法，考查了學生的空間想象力，識圖能力和轉化能力．