Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，點P是坐標平面內的一點，且｜OP｜＝，·＝（點O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y＝x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使＋＝
λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設則由得，
由得，即 ………2分
所以，又因為，所以                   ………3分
橢圓C的方程為：；                                ……….4分
（Ⅱ）解法一:由得，
設直線的方程為,聯立方程組
消去y得：                    ………5分
設,
則                           ………6分
             
∵，∴，
得,于是       ………8分
 ………9分
到直線的距離為
∴，
當,即時等號成立，的最大值為        ………12分
解法二:由得，
設則
∴…………①               ………5分
∵，
∴，代入①得，             ………6分
設直線的方程為         ………7分
橢圓方程得  
，
                          ……….9分
到直線的距離為
∴，                       ………11分
當時等號成立，的最大值為                   ………12分

略