Question

【題目】若函數(shù)f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．

(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；

(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）(9，16).

【解析】試題分析：（1）)因?yàn)?/span>x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等價(jià)于t≥ (x＞0)恒成立，求函數(shù)最值即可；

（2）由f(x)＝0，得t=，即可解＞20即可.

試題解析：

(1)因?yàn)?/span>x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等價(jià)于t≥ (x＞0)恒成立，

由＝≤＝30(x＞0)，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝12時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)t≥30時(shí)，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值為30.

(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，所以使t＞20成立的x的取值范圍為(9，16).