Question

【題目】隨著創新驅動發展戰略的不斷深入實施，高新技術企業在科技創新和經濟發展中的帶動作用日益凸顯，某能源科學技術開發中心擬投資開發某新型能源產品，估計能獲得萬元的投資收益，現準備制定一個對科研課題組的獎勵議案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過萬元，同時獎金不超過投資收益的.（即：設獎勵方案函數模擬為時，則公司對函數模型的基本要求是：當時，①是增函數；②恒成立；③恒成立.）

（1）現有兩個獎勵函數模型：（I）；（II）.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？

（2）已知函數符合公司獎勵方案函數模型要求，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數（I）不符合公司要求；（II）模型符合公司要求；(2)

【解析】

(1)分別判斷兩個函數模型是否滿足三個條件即可.

(2)由題意得函數滿足三個條件，利用函數的單調性、均值不等式可求得的取值范圍.

（1）對于函數模型（I）：因為，即函數（I）不符合條件③，

所以函數模型（I）不符合公司要求.

對于函數模型（II）：當時，是增函數，

且，所以恒成立.

設，因為，

所以當時，.

所以恒成立.

所以函數模型（II）符合公司要求.

（2）因為，所以函數滿足條件①.

由函數滿足條件②得：，所以.

由函數滿足條件③得：對恒成立，

即對恒成立，因為，

當且僅當時等號成立，所以.

綜上所述，實數的取值范圍是.