Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1及點B（0，-2），過點B作直線l與橢圓交于C、D兩點．
（1）試確定直線l的斜率k的取值范圍；
（2）若直線l經過橢圓的左焦點F₁，橢圓的右焦點為F₂，求△CDF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設出直線l的方程，聯立橢圓方程，利用直線和橢圓相交兩個點，可得△＞0，由此可求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）求出直線l的方程，點F₂（1，0）到l的距離，計算|CD|，即可求得面積．

解答：解：（1）設直線l：y=kx-2，聯立橢圓方程，消去y得：（1+2k²）x²-8kx+6=0（*）
由于直線和橢圓相交兩個點，故△=8（2k²-3）＞0，得：k＞

6

2

或k＜

6

2

．
（2）直線l經過點B（0，-2）和F₁（-1，0），所以l：2x+y+2=0
點F₂（1，0）到l的距離d=

4

5

聯立直線和橢圓方程得：9x²+16x+6=0，
∴|CD|=|x1-x2|

1+k2

=

10

9

2

∴S△=

1

2

|CD|d=

4

9

10

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．