Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點．
（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
（II）設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意可知圓過點O（0，0）、F（-1，0），圓心M在直線x=-

1

2

上．由此可求出圓的方程．
（II）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．然后利用根與系數的關系進行求解．

解答：解：（I）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2．
∵圓過點O、F，
∴圓心M在直線x=-

1

2

上．
設M(-

1

2

，t)，則圓半徑r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

.
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解得t=±

2

.
∴所求圓的方程為(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

.
（II）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的左焦點F，
∴方程有兩個不等實根，
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∵線段AB的中點N在直線x+y=0上，
∴x0+y0=-

2k2

2k2+1

+

k

2k2+1

=0，
∴k=0，或k=

1

2

.
當直線AB與x軸垂直時，線段AB的中點F不在直線x+y=0上．
∴直線AB的方程是y=0，或x-2y+1=0．

點評：本題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．解題時要注意公式的靈活運用．