Question

【題目】甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為 ，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判．
（1）求第4局甲當裁判的概率；
（2）X表示前4局中乙當裁判的次數，求X的數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：令A1表示第2局結果為甲獲勝．A2表示第3局甲參加比賽時，結果為甲負．A表示第4局甲當裁判．

則A=A1A2，P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）= ；

（2）解：X的所有可能值為0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝．

B1表示第1局結果為乙獲勝，B2表示第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝，B3表示第3局乙參加比賽時，結果為乙負，

則P（X=0）=P（B1B2 ）=P（B1）P（B2）P（ ）= ．

P（X=2）=P（ B3）=P（ ）P（B3）= ．

P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．

從而EX=0× +1× +2× = ．

【解析】（1）令A1表示第2局結果為甲獲勝，A2表示第3局甲參加比賽時，結果為甲負，A表示第4局甲當裁判，分析其可能情況，每局比賽的結果相互獨立且互斥，利用獨立事件、互斥事件的概率求解即可．（2）X的所有可能值為0，1，2．分別求出X取每一個值的概率，列出分布列后求出期望值即可．