Question

【題目】已知，將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，得到函數的圖象．

（1）求函數的表達式；

（2）當時，求在區間上的最大值和最小值；

（3）若函數在上的最小值為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）根據平移變換“左加右減，上加下減”，即可求得函數；

（2）當時，函數是一個以為對稱軸，開口向上的二次函數，由二次函數的圖象和性質即可求得其在區間上的最大值與最小值；

（3）由于函數是以為對稱軸，開口向上的二次函數，定義域為，故需要討論對稱軸與定義域區間的位置關系，才能確定函數的最小值，由此列出分段函數，最后求這個分段函數的最大值即可.

（1），將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，得到函數的圖象．

根據平移變換可得：函數的表達式為

（2）由（1）可知

故：當時，．

根據二次函數知識可得：是以對稱軸為，開口向上的二次函數

當時，；

當時，．

（3）函數的對稱軸為．

①當，即時，

函數在上為增函數，

；

②當，即時，．

當且僅當取等號，即

故當時，

③當，即時，

函數在上為減函數，

，

綜上可知，

當時，函數的最大值為．