Question

【題目】已知M（ ，0），N（2，0），曲線C上的任意一點P滿足： = | |．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設曲線C與x軸的交點分別為A、B，過N的任意直線（直線與x軸不重合）與曲線C交于R、Q兩點，直線AR與BQ交于點S．問：點S是否在同一直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點P（x，y），∵M（ ，0），N（2，0）， ∴ =（﹣ ，0）， =（x﹣ ，y）， =（2﹣x，﹣y），
代入 = | |，化簡得 + =1，
所以曲線C的方程為 + =1；
（Ⅱ）結論：點S是在同一條直線x= 上．
理由如下：
（i）當直線的斜率存在時，設直線方程為y=k（x﹣2），
將直線方程代入曲線C： + =1中，
化簡得：（5+9k2）x2﹣36k2x+（36k2﹣45）=0．
設點R（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用根與系數的關系得：x1+x2= ，x1x2= ，
在曲線C的方程中令y=0得x=±3，不妨設A（﹣3，0），B（3，0），
則kBR= ，則直線BR：y= （x﹣3）．
同理直線 ．
由直線方程BR、AQ，消去y，
得x= = = = ，
所以點S是在直線x= 上；
（ii）當直線的斜率不存在時，則直線方程為x=2．
可得點S的橫坐標為 ．
綜合（i）（ii）得，點S是在同一條直線x= 上
【解析】（Ⅰ）設點P（x，y），通過M、N點坐標，可得 、 、 的坐標表示，利用 = | |計算即可；（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線方程并代入曲線C中，化簡后利用韋達定理計算即得結論；當直線的斜率不存在時，即得結論．