Question

【題目】已知函數（為常數）.

（1）求函數在的最小值；

（2）設是函數的兩個零點，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析函數單調性，根據單調性確定最小值取法，最后代入求最小值，（2）作差函數，利用零點條件化為一元函數，根據導數研究一元函數單調性，確定其最大值小于零，最后根據原函數單調性證得不等式.

試題解析：（1），的定義域為，且，∴

當時，，所以在遞增；

當時，，所以在遞減，

且，，因，

函數在的最小值為.

由（1）知滿足，且，，

，由題意可知

又由（1）可知在遞減，故，所以，，

則

令，

則 ，

當時，是減函數，所以

因 ，

即，所以當時，，即

因為，，在上單調遞增，所以，故.