Question

已知點A、B在平面α的同側，且到平面α的距離分別為d與3d，則A、B的中點到平面α的距離為

2d

．

Answer 1

分析：分別作出A、B兩點到平面α的垂線段，得到梯形ABCD．再用直線與平面垂直的性質，可證明出梯形ABCD的中位線MN就是所要求的點到平面的距離，最后用梯形中位線定理，得到這個距離為2d．

解答：解：分別作AD⊥α于D，BC⊥α于C，連接DC
再分別取AB、DC中點M、N，連接MN
∵AD⊥α，BC⊥α
∴AD∥BC
可得MN是梯形ABCD的中位線
∴MN=

1

2

(AD+BC)
∵AD⊥α，BC⊥α
∴NM∥BC∥AD，MN是AB中點到平面α的距離
且AD、BC分別為點A、B到平面α的距離
即AD=d，BC=3d
∴MN=

1

2

(AD+BC)=2d
故答案為：2d

點評：本題考查了利用直線與平面垂直的性質、梯形中位線定理，來求空間中的點面距離，屬于中檔題．