Question

已知點A，B，C是不在同一直線上的三個點，O是平面ABC內一定點，P是△ABC內的一動點，若

OP

-

OA

=λ(

AB

+

1

2

BC

)，λ∈[0，+∞），則點P的軌跡一定過△ABC的（　　）

• A、外心
• B、內心
• C、重心
• D、垂心

Answer 1

分析：設出BC的中點D，利用向量的運算法則化簡

AB

+

1

2

BC

；

OP

-

OA

據向量共線的充要條件得到P在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項

解答：解：如圖，取BC的中點D，連接AD，
則

AB

+

1

2

BC

=

AB

+

BD

=

AD

．又

OP

-

OA

=λ(

AB

+

1

2

BC

)，
∴

OP

-

OA

=λ

AD

，即

AP

=λ

AD

．
又λ∈[0，+∞），
∴P點在射線AD上．
故P的軌跡過△ABC的重心．
故選C

點評：本題考查向量的運算法則、向量共線的充要條件、三角形的重心定義．