Question

（14分）已知在數(shù)列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=是函數(shù)f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1   (n≥2)的一個(gè)極值點(diǎn)（Ⅰ）求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，數(shù)列前項(xiàng)的和為，求證：
（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和為，求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的的值：（1） （2）對(duì)于任意的，均存在，當(dāng)時(shí)，

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ） 

：（Ⅰ）由題意得：f′()="0 " 即3a_n-1t-3[(t+1)a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t(a_n-a_n-1)(n≥2)      則當(dāng)t≠1時(shí)，數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項(xiàng)          t為公比的等比數(shù)列  ∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1 由a_n+1-a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)         =t+(t²-t)[1+t+t²+…+t^n-2] =t+(t²-t)· =tⁿ此式對(duì)t=1也成立∴a_n=tⁿ (n∈N)
（Ⅱ）    
（Ⅲ） （1）當(dāng) 時(shí)，由Ⅱ得

取，當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)時(shí)，，所以
 
取因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823115736613427.gif" style="vertical-align:middle;" />，不存在，使得當(dāng)時(shí)，
（3）當(dāng)時(shí)，，
，由（1）可知存在，當(dāng)時(shí)
，故存在，當(dāng)時(shí)，

綜上，