Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 平面， ，點為的中點，點在棱上移動.

（1）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；

（2）求證：無論點在的何處，都有；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）面；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析：

(1)由于分別為的中點，可得，再根據線面平行的判定定理即可證明結果； (2)因為面，可得；由于為矩形，則，根據線面垂直的判定定理，可得面，進而可得.再由于，且為中點，可得，于是可證面，進而求證出結論；(3) 過作于， 于，連接，則即為所求二面角的平面角.然后再中即可求出的余弦值，即可求出二面角的余弦值.

試題解析：

(1)∵分別為的中點，

∴，∵面面，∴面.

(2)∵面面，∴.

∵為矩形，∴，∵，∴面，

∵面，∴.

∵，且為中點，∴.

∵，∴面，∵面，∴.

(3)

過作于， 于，連接，則即為所求.易得.

∵為矩形，∴，所以點到的距離為.

∵，∴，∵為中點，∴為中點，

∴.

在中.

∴，

即二面角的余弦值為.