Question

（2012•徐匯區一模）如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中點．
（1）求PD與平面PAC所成的角的大小；
（2）求△PDB繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體的體積．

Answer 1

分析：（1）先判斷∠DPA就是PD與平面PAC所成的角，再在Rt△PAD中，即可求得結論；
（2）△PDB繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體，是以AB為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個以AD為底面半徑、AP為高的小圓錐，從而可求體積．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
又∵AC⊥AB，PA∩AC=A
∴AB⊥平面PAC，
∴∠DPA就是PD與平面PAC所成的角．…（2分）
在Rt△PAD中，PA=2，AD=

3

2

，…（4分）
∴tan∠DPA=

3

4

∴∠DPA=arctan

3

4

，…（5分）
即PD與平面PAC所成的角的大小為arctan

3

4

．…（6分）
（2）△PDB繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體，是以AB為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個以AD為底面半徑、AP為高的小圓錐，
∴V=

1

3

π×(

3

)2×2-

1

3

π×(

3

2

)2×2=

3

2

π．…（12分）．

點評：本題考查線面角，考查幾何體的體積，確定線面角，明確幾何體的形狀是解題的關鍵．