Question

（2012•徐匯區一模）已知各項為正數的等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m、a_n使得

am•an

=2

2

a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為

11

6

．

Answer 1

分析：由題意可得 a₆q=a₆+2

a6

q

，解得q=2．由

am•an

=2

2

a1可得 m+n=5，再由m、n是正整數，求得

1

m

+

4

n

的最小值．

解答：解：設等比數列的公比為q，則由 a₇=a₆+2a₅ ，可得到 a₆q=a₆+2

a6

q

，
由于 a_n＞0，所以上式兩邊除以a₆ 得到q=1+

2

q

，解得q=2或q=-1．
因為各項全為正，所以q=2．
由于存在兩項 a_m，a_n 使得

am•an

=2

2

a1，所以，a_m•a_n=8 a12，
即 a1qm-1•a1qn-1=8 a12，∴q^m+n-2=8，∴m+n=5．
當 m=1，n=4時，

1

m

+

4

n

=2；  當 m=2，n=3時，

1

m

+

4

n

=

11

6

；當 m=3，n=2時，

1

m

+

4

n

=

7

3

；
當 m=4，n=1時，

1

m

+

4

n

=

17

4

．
故當 m=2，n=3時，

1

m

+

4

n

取得最小值為

11

6

，
故答案為

11

6

．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，屬于中檔題．