Question

（2012•湖南）已知函數f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函數f（x）的圖象上取定點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為K，證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=K恒成立．

Answer 1

分析：（1）根據題意，對f（x）求導可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna與x＞lna兩種情況討論可得f（x）取最小值為f（lna）=a-alna，令g（t）=t-tlnt，對其求導可得g′（t）=-lnt，分析可得當t=1時，g（t）取得最大值1，因此當且僅當a=1時，a-alna≥1成立，即可得答案；
（2）根據題意，由直線的斜率公式可得k=

ex2-ex1

x2-x1

-a，令φ（x）=f′（x）-k=e^x-

ex2-ex1

x2-x1

，可以求出φ（x₁）與φ（x₂）的值，令F（t）=e^t-t-1，求導可得F′（t）=e^t-1，
分t＞0與t＜0討論可得F（t）的最小值為F（0）=0，則當t≠0時，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，進而討論可得φ（x₁）＜0、φ（x₂）＞0，結合函數的連續性分析可得答案．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，解可得x=lna；
當x＜lna，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x＞lna，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
故當x=lna時，f（x）取最小值，f（lna）=a-alna，
對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當且僅當a-alna≥1，①
令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt，
當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增，當t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調遞減，
故當t=1時，g（t）取得最大值，且g（1）=1，
因此當且僅當a=1時，①式成立，
綜上所述，a的取值的集合為{1}．
（2）根據題意，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

-a，
令φ（x）=f′（x）-k=e^x-

ex2-ex1

x2-x1

，
則φ（x₁）=-

ex1

x2-x1

[ex2-x1-（x₂-x₁）-1]，
φ（x₂）=

ex2

x2-x1

[ex1-x2-（x₁-x₂）-1]，
令F（t）=e^t-t-1，則F′（t）=e^t-1，
當t＜0時，F′（t）＜0，F（t）單調遞減；當t＞0時，F′（t）＞0，F（t）單調遞增，
則F（t）的最小值為F（0）=0，
故當t≠0時，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，
從而ex2-x1-（x₂-x₁）-1＞0，且

ex1

x2-x1

＞0，則φ（x₁）＜0，
ex1-x2-（x₁-x₂）-1＞0，

ex2

x2-x1

＞0，則φ（x₂）＞0，
因為函數y=φ（x）在區間[x₁，x₂]上的圖象是連續不斷的一條曲線，所以存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，
即f′（x₀）=K成立．

點評：本題考查導數的應用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立問題，是綜合題；關鍵是理解導數的符號與單調性的關系，并能正確求出函數的導數．