Question

對于定義在實數集上的兩個函數，若存在一次函數使得，對任意的，都有，則把函數的圖像叫函數的“分界線”。現已知（，為自然對數的底數），
（1）求的遞增區間；
（2）當時，函數是否存在過點的“分界線”？若存在，求出函數的解析式，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）①若，則，此時的遞增區間為；
②若，則或，此時的遞增區間為；
③若，則的遞增區間為；
④若，則或，此時的遞增區間為。
（2）存在函數的圖像是函數過點的“分界線”

解析試題分析：解：（1），
由得
①若，則，此時的遞增區間為；
②若，則或，此時的遞增區間為；
③若，則的遞增區間為；
④若，則或，此時的遞增區間為。
（2）當時，，假設存在實數，使不等式對恒成立，由得到對恒成立， 則，得，
下面證明對恒成立。
設，，，
且時，，，
時，，
所以，即對恒成立。
綜上，存在函數的圖像是函數過點的“分界線”。
考點：導數的運用
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解函數單調性，以及導數幾何意義的運用，屬于中檔題。