Question

已知一動圓P（圓心為P）經過定點，并且與定圓：（圓心為C）相切.
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線經過圓的圓心M，交動圓圓心P的軌跡于A、B兩點.是否存在常數k，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）動圓圓心P的軌跡方程為.
（2）存在常數，使得.

（1）設P（x，y），動圓半徑為r，則|PQ|=r．因為點Q在圓C的內部，所以動圓P與定圓C內切，所以|PC|=4-r．所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=，由此能夠求出動圓圓心P的軌跡方程．
（2）假設存在常數k，使得，即
，所以M為ＡＢ的中點.圓方程可化為，所以由與方程聯立，消y后得到關于x的一元二次方程.因為點M（1,1）在橢圓的內部，所以恒有,,由此能夠推導出存在常數，使得.