Question

已知與圓C：x²＋y²－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點，
OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．
(Ⅰ)求證：(a－2)(b－2)＝2；
(Ⅱ)求線段AB中點的軌跡方程；
(Ⅲ)求△AOB面積的最小值．

Answer 1

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) (x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1) (Ⅲ) 3＋2

本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，軌跡方程，直線與圓的位置關系，考查的解題方法為坐標法，難度中等．
（1）由已知中圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線交x軸、y軸于A、B兩點|OA|=a，|OB|=b，我們設以分別求出直線的一般方程，和圓的標準方程，然后根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑得到結論；
（2）設線段AB的中點M（x，y），代入（1）的結論，整理后，即可得到答案；
（3）S_△AOB= |ab|，結合（1）的結論，及均值不等式，即可得到答案．
(Ⅰ)證明：圓的標準方程是(x－1)²＋(y－1)²＝1，設直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1，………………………2分
即a²＋b²＋a²b²＋2ab－2a²b－2ab²＝a²＋b²，即a²b²＋2ab－2a²b－2ab²＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.……………………………4分
(Ⅱ)設AB中點M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1).……………………………………………………………8分
(Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋ (舍去≤2－)，………………………………………………………………………10分
當且僅當a＝b時，ab取最小值6＋4，所以△AOB面積的最小值是3＋2.…12分