Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有 成立．
（1）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調性，并證明它；
（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；
（3）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是[﹣1，1]上的增函數．

理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）

∵ ＞0，

即 ＞0，

∵x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

則f（x）是[﹣1，1]上的增函數．

（2）解：由（1）可得f（x）在[﹣1，1]遞增，

可得不等式f（x2）＜f（2x），即為

即

解得0＜x≤ ，則解集為（0， ]；

（3）解：要使f（x）≤m2﹣2am+1對所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

只須f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1對任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

亦即m2﹣2am≥0對任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，

只須 ，

解得m≤﹣2或m≥2或m=0，

則實數m的取值范圍是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}．

【解析】（1）利用函數單調性的定義進行證明：在區間[﹣1，1]任取x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 利用函數為奇函數的性質結合已知條件中的分式，可以證得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函數f（x）是[﹣1，1]上的增函數；（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]遞增，不等式即為﹣1≤x2＜2x≤1，解不等式即可得到所求范圍；（3）根據函數f（x）≤m2﹣2am+1對所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，說明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數，m為參數系數，解不等式組，即可得出m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．