Question

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)的極小值為，求的值；

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)可得到，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可；

（2）要證原不等式即證，然后利用導(dǎo)數(shù)分別證明不等式和即可.

（1）函數(shù)的定義域是R，

時(shí)，對(duì)恒成立，

∴在R上單調(diào)遞減，函數(shù)無極值，

時(shí)，令，解得：，

令，解得：，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴時(shí)，取極小值-1，

∴，即，

令，

則

∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，

∵，∴；

（2）∵，∴

∴，

令

∴，

令，，，

令，解得：，令，解得：，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴時(shí)，取得極小值，

又∵，，

∴存在使得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∵，∴，

∴時(shí)，，即，

令，

則對(duì)于恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即當(dāng)時(shí)，，

∴時(shí)，，

∴

故時(shí)，成立.