Question

若(x+

1

2x

)n的展開式中前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中x⁴項的系數(shù)為______．

Answer 1

∵(x+

1

2x

)n的展開式中前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，
∴

C

0n

+

1

4

C

2n

=2

C

1n

×

1

2

，
即n+

n(n-1)

8

=n，解得n=8或n=1（舍）．
設其二項展開式的通項為T_r+1，則T_r+1=

C

r8

•x^8-r•(

1

2

)r•x^-r=

C

r8

•(

1

2

)r•x^8-2r，
令8-2r=4得r=2．
∴展開式中x⁴項的系數(shù)為

C

28

•(

1

2

)2=28×

1

4

=7．
故答案為：7．