Question

已知直線l：

x=1+t y=-t

（t為參數）與圓C：

x=2cosθ y=m+2sinθ

（θ為參數）相交于A，B兩點，m為常數．
（1）當m=0時，求線段AB的長；
（2）當圓C上恰有三點到直線的距離為1時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先把參數方程化為普通方程，再利用點到直線的距離公式、弦長|AB|=2

r2-d2

即可得出；
（2）圓C上恰有三點到直線的距離為1的條件?圓心C到直線l的距離=1．

解答：解：（1）由直線l：

x=1+t y=-t

（t為參數）消去參數化為普通方程l：x+y-1=0；
當m=0時，圓C：

x=2cosθ y=m+2sinθ

（θ為參數）消去參數θ得到曲線C：x²+y²=4，圓心C（0，0），半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離為  d=

1

2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=

14

．
（2）由（1）可知：x+y-1=0，
又把圓C的參數方程的參數θ消去可得：x²+（y-m）²=4，∴圓心C（0，m），半徑r=2．
只要圓心C到直線l的距離=1即可滿足：圓C上恰有三點到直線的距離為1的條件．
由d=

|m-1|

2

=1，解得m-1=±

2

，
∴m=1+

2

或m=1-

2

．

點評：熟練把參數方程化為普通方程、掌握點到直線的距離公式、弦長|AB|=2

r2-d2

及正確把問題等價轉化是解題的關鍵．