Question

（2013•南京二模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：

x=1- 5 5 t y=-1+ 2 5 5 t

（t為參數）和曲線C：

x=1+t y=1+t2

（t為參數）．若P是曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析：分別化直線l和曲線C的參數方程為普通方程，聯立方程組后方程組無解可知直線和曲線相離，由導數求出和直線平行且與曲線相切的直線與曲線的切點，再由點到直線的距離公式求解．

解答：解：由直線l：

x=1- 5 5 t y=-1+ 2 5 5 t

，得直線l的普通方程為2x+y-1=0，
由曲線C：

x=1+t y=1+t2

，得曲線C的普通方程為y=x²-2x+2．
∵方程組

2x+y-1=0 y=x2-2x+2

無解，∴直線l和曲線C沒有公共點．
由y=x²-2x+2，得y′=2x-2，再令2x-2=-2，得x=0，代入曲線y=x²-2x+2，得y=2．
∴當點P為（0，2）時，它到直線l的距離最小，最小距離為

|2-1|

5

=

5

5

．

點評：本題考查了參數方程化普通方程，考查了點到直線的距離公式，考查了數學轉化思想方法，是基礎題．