Question

【題目】在正方體中，分別為線段的中點，為四棱錐的外接球的球心，點分別是直線上的動點，記直線與所成角為，則當(dāng)最小時，（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，設(shè)分別為棱和的中點，則四棱錐的外接球即三棱柱的外接球，所以其外接球球心為上、下底面三角形外心和連線的中點，是平面內(nèi)的一條動直線，所以的最小值是直線與平面所成角，即問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值，通過建立空間直角坐標(biāo)算出直線與平面所成角的正切值即可.

如圖，設(shè)分別為棱和的中點，

則四棱錐的外接球即三棱柱的外接球，

因為三棱柱為直三棱柱，

所以其外接球球心為上、下底面三角形外心和連線的中點.

由題意，是平面內(nèi)的一條動直線，所以的最小值是直線與平面所成角，即問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值.

不妨設(shè)正方體的棱長為2，則.

因為為等腰三角形，所以外接圓的直徑為，

則，從而.

如圖，以為原點，以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，令，則，

因為，所以，則.

故選：D