【題目】已知
，點
是圓
上一動點，動點
滿足
，點
在直線
上，且
.
（1）求點的軌跡
的標準方程；
（2）已知點
在直線
上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為
，記點到直線
的距離分別為
，求
的最大值，并求出此時點的坐標.
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】
（1）由題可得
是線段
的垂直平分線，所以可得
，由橢圓的定義可知，
點軌跡是以
為焦點，以4為長軸長的橢圓，即可求得方程；
（2）設
，可知點
處的切線
的方程為
，同理可得切線
的方程為
，故直線
的方程為
，表示出
，
，
；算出
，求出其最大值即可.
解：（1）由
，可知
為線段的中點，
又
，所以是線段的垂直平分線，故
.
因為點在直線
上，所以
.
由橢圓的定義可知，點軌跡是以為焦點，以4為長軸長的橢圓，即
，
解得
，
另當點坐標為
時，與重合，不符合題意，故
的標準方程為.
（2）設，所以曲線
點處的切線的方程為
，又因為切線過
，所以.
同理可得，故直線的方程為.
所以.
因為直線
的方程為
，所以，.
又因為
在直線的兩側，
所以
，
所以
，
令
，
，
則
，
當
，即
時，有最大值，
此時
點的坐標為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
，點A為橢圓C上異于左右頂點的任意一點，A關于原點O的對稱點為B，
，且
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若
是A關于x軸的對稱點，設點
，連接NA，直線NA與橢圓C相交于點E，直線
與x軸相交于點M，求點M的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】分形幾何學是數學家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀70年代創立的一門新的數學學科，它的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規律可得如圖乙所示的一個樹形圖：記圖乙中第
行黑圈的個數為
，則（1）
_______；（2）
______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著我國經濟的發展，居民收入逐年增長.某地區2014年至2018年農村居民家庭人均純收入
（單位：千元）的數據如下表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均純收入 | 5 | 4 | 7 | 8 | 10 |
（1）求關于
的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2018年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測2019年該地區農村居民家庭人均純收入為多少？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國古代數學經典《數書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬
中，底面ABCD是矩形.
平面
，
，
，以
的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.
（1）證明：
平面
，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
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