Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的零點個數；

（2）設，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）時，無零點；時，2個零點（2）證明見解析

【解析】

分類討論，可得，分別，，利用導數求出函數的最值，即可判斷函數的零點的個數，

當時，不等式成立，當時，轉化為，設，，利用導數求出函數的最值即可證明．

當時，，

當時，，即，

設，

，

當且時，，即在，上單調遞減，

當時，，即在上單調遞遞增，

當時，，

當時，，當時，，

分別畫出與的圖象，如圖所示，

結合圖象可得，當時，與的圖象只有一個交點，

即函數只有一個零點，

當時，與的圖象沒有只有交點，即函數沒有零點，

當時，與的圖象有兩個交點，即函數有兩個零點．

證明：當時，，此時a取任何數都成立，

當時，要證當時，，只要證，

即證，

，

只要證，，

只要證，即證

設，，

，

令，，

，

當時，，函數在上單調遞增，

當時，，函數在上單調遞減，

，

，，，

存在，使得，

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

，

成立，

即當時，，

綜上所述：時，當時，．