Question

【題目】已知函數 ．

（1）求函數 在 處的切線方程；

（2）設 ，討論函數 的零點個數．

Answer 1

【答案】(1) l;(2) 當時，有 個零點； ， 個零點； ，沒有零點;所以 ，零點 個； ，零點 個； ，零點 個．

【解析】試題分析：（1）求函數 在 處的切線方程，應先求其導函數，在 處的切線的斜率就是該點處的導函數值，用直線方程的點斜式可得切線的方程； ，因為，所以考慮函數的零點個數就是考慮函數的零點個數問題，構造函數，求導數，解不等式，得函數在 上單調遞減， 上單調遞增，求得其在 函數取得極小值 ．根據函數圖像、直線及的取值情況可得，當時，有 個零點； ， 個零點； ，沒有零點．

試題解析：（1） ， ，

所以函數 在 處的切線方程為 ，即 ．

（2） ， ，可得 ，

設 ，則 ，函數在 上單調遞減， 上單調遞增，

所以 函數取得極小值 ．

由函數圖像、直線及的取值情況可得，

當時，有 個零點； ， 個零點； ，沒有零點．

所以 ，零點 個； ，零點 個； ，零點 個．