Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交與兩點，過線段的中點與垂直的直線交直線于點，若為等邊三角形，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或．

【解析】

試題分析：（1），以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積，和可解得和，求得橢圓的標準方程；（2）設直線方程為，與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，并且得到AB的中點M的坐標，并表示過線段的中點與垂直的直線，求點P的坐標，若為等邊三角形，那么,求得斜率，得到直線方程.

試題解析：（1）依題意，可得，得，

所以所求橢圓的方程為；

（2）直線的方程為，聯立方程組，

消去并整理得，

設，得，

所以，

設的中點，得，

得直線的斜率為，又，

所以，

當為正三角形時，，即，

解得，即直線的方程為或．