Question

已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）若方程在內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（3）令，若的圖象與軸交于（其中），的中點為，求證：在處的導(dǎo)數(shù)

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）屬于簡單題，利用函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)值為斜率求解；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸有2個交點，進來轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值與最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)判函數(shù)的單調(diào)性滿足即可；（3）利用反證法求解，假設(shè)成立，由條件滿足，利用第1、2個條件求解值，結(jié)合第4個條件得到，再利用函數(shù)的單調(diào)性充分證明假設(shè)錯誤，進而得證在處的導(dǎo)數(shù).
試題解析：（1）
且
解得                              3分
（2），令
則
令，得舍去).
當時，
是增函數(shù)；
當時，
是減函數(shù)；                              5分
于是方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是：.
即                              9分
（3）由題意
假設(shè)結(jié)論成立，則有：
                           11分
①-②，得

由④得

即，即⑤                  13分
令
則
在（0，1）增函數(shù)，

⑤式不成立，與假設(shè)矛盾.
                               14分
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的最值求解；3.反證法思想.