Question

已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且

BF

=2

FD

，則C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：由橢圓的性質求出|BF|的值，利用已知的向量間的關系、三角形相似求出D的橫坐標，再由橢圓的第二定義求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立關于a、c的方程，解方程求出

c

a

 的值．

解答：解：如圖，|BF|=

b2+c2

=a，
作DD₁⊥y軸于點D₁，則由

BF

=2

FD

，得

|OF|

|DD1|

=

|BF|

|BD|

=

2

3

，所以，|DD1|=

3

2

|OF|=

3

2

c，
即xD=

3c

2

，由橢圓的第二定義得|FD|=e(

a2

c

-

3c

2

)=a-

3c2

2a

又由|BF|=2|FD|，得a=2a-

3c2

a

，a²=3c²，解得e=

c

a

=

3

3

，
故答案為：

3

3

．

點評：本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考查了數形結合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑．