Question

已知函數f（x）=e^x-a（x-1），x∈R，其中a為實數．
（1）若實數a＞0，求函數f（x）在（0，+∞）上的極值．
（2）記函數g（x）f（2x），設函數y=g（x）的圖象C與y軸交于P點，曲線C在P點處的切線與兩坐標軸所圍成的圖形的面積為S（a），當a＞1時，求S（a）的最小值；
（3）當x∈（0，+∞）時，不等式f（x）+f′（x）+x³-2x²≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，對a進行討論，分別判斷函數的單調性，最后根據a的不同取值得出的結論綜合即可；
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），計算出切線斜率，寫出切線方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），求得在坐標軸上的截距，利用三角形的面積公式得到面積S（a）的表達式，最后利用基本不等式求此函數的最小值即可；
（3）利用分離參數法，借助于求函數的最值，可求實數a的取值范圍．

解答：解：：（1）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
①當a∈（0，1]時，f'（x）=e^x-a＞1-a≥0（x＞0）．此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增．函數無極值．
②當a∈（1，+∞）時，lna＞0．
x變化時f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	=
f（x）	單減	極小值	單增

由此可得，函數有極小值且f（x）_極小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切線斜率為k=g'（0）=2-2a，切線方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由x=0，y=1+a，由y=0，x=

a+1

2(a-1)

∴S（a）=

1

2

×(a+1)×

a+1

2(a-1)

=

1

4

[（a-1）+

4

a-1

+4]≥2
當且僅當（a-1）²=4，即a=3時取等號．∴當a=3時，S（a）最小值為2．
（3）由已知不等式即為：2e^x+x³-2x²≥ax，
∴a≤

2ex

x

+x2-2x
令u（x）=

2ex

x

+x2-2x，則u′（x）=

2(x-1)(ex+2)

x2

∴x∈（0，1）時，u′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，u′（x）＞0
∴u（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
∴x=1時，u（x）的最小值為2e-1
∴a≤2e-1．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，考查基本不等式的運用，考查分離參數法．解答關鍵是要對函數求導，做題時要注意對a進行討論，最后得出函數的極值和單調區間．