Question

對于三次函數，定義是的導函數的導函數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，可以證明，任何三次函數都有“拐點”，任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，請你根據這一結論判斷下列命題：
①任意三次函數都關于點對稱：
②存在三次函數有實數解，點為函數的對稱中心；
③存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心；
④若函數，則，
其中正確命題的序號為                  (把所有正確命題的序號都填上）.

Answer 1

①②④

解析試題分析：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f^″(x)=6a×(-)+2b=0，∴任意三次函數都關于點（-，f（-））對稱，即①正確；
∵任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數f′（x）=0有實數解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即②正確；
任何三次函數都有且只有一個對稱中心，故③不正確；
∵，∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=，∵g（）=³-×()²-=-，
∴函數的對稱中心是（，-），
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴，故④正確．
故答案為：①②④．
考點：應用導數研究函數的性質
點評：中檔題，本題綜合性較強，研究函數的圖象和性質。利用導數研究函數的單調性，是常用方法。