Question

【題目】已知函數．

（1）證明：函數f（x）在（0，π）上是減函數；

（2）若， ，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（﹣∞，0]．

【解析】

（1）求導，結合基本不等式可得≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得證；

（2）當m≤0時，由（1）在上成立；當m＞0時，利用導數可推導存在，使得與矛盾，綜合即可得出結論．

（1）因為，

則，當且僅當sinx＝1時取等號，

故函數在（0，π）上是減函數；

（2）因為，當m≤0時，由（1）知，成立；

當m＞0時，令，＝﹣sinx+1＞0，

∴在上單調遞增，

∴，即，

∴，

令，

則，

，

令＝2mcos2x﹣x，＝﹣4mcosxsinx﹣1＜0，

∴在上單調遞減，

則在上遞增，

∵，

∴存在，使得q（t）＝0，即時，＞＝0，

∴＞0，則在遞增，故，

∴存在，使得與矛盾，

∴實數m的取值范圍為（﹣∞，0]．