在拋物線 y2＝4x上恒有兩點關于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的范圍．
解析試題分析：設B,C關于直線
對稱，根據直線垂直斜率之積等于
，可知直線AB的斜率為
，但這樣就會有一個弊端，也就是當直線l斜率為0時，直線AB的斜率就不存在了，所以這時就需要討論。為了省去討論的麻煩可直接將直線AB方程設為
，設出B,C坐標可得出中點M的坐標，由對稱性可知中點M恒在直線l上，代入方程得到方程
，用k表示出m，還是有對稱性可知中點M恒在拋物線內部，得到不等式
，代入
代入即可得出k的范圍。
試題解析：設B,C關于直線對稱，直線BC方程為，代入y2＝4x，得
。設
，B,C中點
，所以
，因為在直線
上，所以，整理得
，因為在拋物線y2＝4x內部，則，把m代入化簡得
，即
，解得
考點：點關于直線的對稱點問題，直線和圓錐曲線的位置關系問題
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知過點
的橢圓
：
的右焦點為
，過焦點
且與
軸不重合的直線與橢圓交于
，
兩點，點關于坐標原點的對稱點為
，直線
，
分別交橢圓的右準線
于
，
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點的坐標為
，試求直線的方程；
（3）記，兩點的縱坐標分別為
，
，試問
是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的左、右焦點分別為
，橢圓的離心率為
，且橢圓C經過點
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若線段
是橢圓過點
的弦，且
，求
內切圓面積最大時實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”，其中
、
是過拋物線
焦點
的兩條弦，且其焦點
，
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
（1）求拋物線方程；
（2）如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小，求的大小？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓錐曲線
的兩個焦點坐標是
，且離心率為
；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設曲線
表示曲線的
軸左邊部分，若直線
與曲線相交于
兩點，求
的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果
，且曲線上存在點
，使
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的兩條漸近線為
、
.過橢圓的右焦點
作直線
，使
，又與
交于點
，設與橢圓的兩個交點由上至下依次為
、
.
（1）若
與的夾角為
，且雙曲線的焦距為
，求橢圓的方程；
（2）求
的最大值.
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已知橢圓
的離心率為
，其左焦點
到點
的距離為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點
的直線與橢圓交于不同的兩點
、
，則
內切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
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已知點
（
，
是常數），且動點
到
軸的距離比到點
的距離小
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）（i）已知點
，若曲線
上存在不同兩點
、
滿足
，求實數的取值范圍；
（ii）當
時，拋物線
上是否存在異于、的點
，使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為
的橢圓過點
（1）求橢圓的方程；
（2）設不過原點O的直線
與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線
的斜率依次成等比數列，
求
面積的取值范圍.
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